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标题: 3D基础知识--投影变换 [打印本页]

作者: 愤怒的小猪 时间: 2011-12-29 10:18
标题: 3D基础知识--投影变换

感觉很多书上都没讲清楚透视投影变换的推导过程,自己推导了下,以前一直含糊的关于方形/非方形的视平面和屏幕的宽高比的问题也有了答案.本文组织如下：

1.相机空间到视平面的变换

2.视平面到屏幕的变换

3.综合

4.一般情形
1.相机空间到视平面的变换
                     * p (xc,0, zc)

                  / |

                  / |

               / |

         X |/    |

         ^    *p  |(xp,0,zp)

         | / |    |

         | / |    |

         | / |    |

C(cam) |/ |    |

--------*----|----*------------->Z

         0 dx zc

   (X-Z平面的投影示图)
a.透视投影一般的视景体为棱台，相机空间的物体会投影到视平面z=d，这里考虑左手坐标系，矩阵使用行优先方式。如图所示，由相似三角形知识可知相机空间中的物体投影到视平面上的坐标为：
xp = xc*(dx/zc)

yp = yc*(dy/zc)
其中,xc,yc,zc为相机空间坐标,xp,yp,zp为视平面坐标，dx，dy为x,y轴向的视距view distance，视平面到camera的距离,

故相机空间投影到视平面上的矩阵Tcp为：
|dx 0 0 0 |
|0 dy 0 0 |
|0 0 1 1 |
|0 0 0 0 |
(验证:Tcp右乘点p(xc,yc,zc,1)得点p (xc*dx, yc*dy, zc, zc),转换为3D坐标为(xc*dx/zc, yc*dy/zc, 1),正确。)
********************************************************************

注：因为转换过程中点使用的是4D齐次坐标,所以最后需转换为3D坐标。4D齐次坐标(x,y,z,w)转换为3D坐标的方法为除以w分量，即对应3D坐标为(x/w,y/w,z/w)。

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考虑dx/zc和dy/zc项，如果dx != dy,则投影后x,y的比例会发生变化（原因：投影前坐标比例为xc/yc,投影后为xp/yp = xc*(dx/zc)/yc*(dy/zc) = xc*dx/yc*dy），从而投影后的图像的x,y比例会发生变形。
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结论1：所以，一般都会令d=dx=dy,即x,y向的视距相同。否则，图像失真。

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考虑视角（view angle,或视野filed of view）的问题，视角的大小不会影响到物体投影后的坐标，只会影响可视的范围。
在视距一样的情况下，x,y轴的视角可以不一样。如果一样，那么视平面就是一个正方形的。于是有：
tan(theta_x/2) = width_p/d

tan(theta_y/2) = height_p/d
其中，theta_x，theta_y为x,y轴向的视角，width_p，height_p为视平面z=d的宽度（x轴）和高度(y轴)。

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结论2：视平面的宽高比rp=width_p/height_p = tan(theta_x/2)/tan(theta_y/2)。

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2.视平面到屏幕的变换
下面就是视平面到屏幕的变换了，这是一个2D到2D的变换（视平面的坐标需伸缩以填满整个屏幕空间,即在视平面中出现的所有的点要变换到屏幕上去，同时x,y轴向的比例还要维持和变换前一样，以免比例失真，同时视平面的坐标原点和屏幕中心点（x0=(width_s)/2, y0=(height_s)/2）对应），其实，就是一个坐标缩放加平移的过程:
xs = xp*kx + x0

ys = -yp*ky + y0
矩阵Tps为：
|kx    0    0 0 |
|0    -ky    0 0 |
|0    0    1 0 |
|x0 y0    0 1 |
(验证:Tps右乘点p(xp,yp,zp,1)得点p (xp*kx + x0, -yp*ky + y0, zp, 1),转换为3D坐标为(xp*kx + x0, -yp*ky + y0, zp)，正确。)
其中，kx,ky(kx>0,ky>0)为x,y轴向的缩放因子（kx=(width_s)/(width_p)， ky = (height_s)/(height_p），和视距相同，kx,ky的值必须一样，否则图像的x,y比例又会发生变形。这里-yp*ky是因为一般屏幕的y轴是向下的，跟相机空间和视平面坐标系中的y轴方向相反。

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结论3: 一般令k=kx=ky，即x,y向的缩放因子相同。否则，图像失真。

于是有，width_s/width_p = height_s/height_p，变化等式得，rp = width_p/height_p = width_s/height_s = rs

所以，在x,y轴视距一样的情况下，要想最后变换到屏幕上的图像x,y比例不失真，必须rp=rs,即视平面的宽高比和屏幕的宽高比一样。

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注：若屏幕宽高为W,H，当W != H，即屏幕不为方形的时候，要确保投影到屏幕上的图像x,y比例不失真，则x,y轴视角(或视野FOV)肯定不能相等。

原因：由结论2,3知，rp=width_p/height_p = tan(theta_x/2)/tan(theta_y/2)=width_s/height_s=rs=W/H。故由W/H != 1 => theta_x != theta_Y.

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3.综合：
相机空间点p转换到屏幕空间点p ，变换公式为：
xs = xc*(dx/zc)*kx + x0 = xc*(d/zc)*k + x0

ys = -yc*(dy/zc)*ky + y0 = -yc*(d/zc)*k + y0
综合变换矩阵(相机空间到屏幕空间)Tcs为：
Tcs = Tcp*Tps =
|d*k 0    0 0 |
|0    -d*k 0 0 |
|x0    y0    1 1 |
|0    0       0 0|
其中，d为视距，k为屏幕和视平面之间的宽度比或高度比，x0,y0为屏幕中心，注：最后需转换为3D坐标。
(验证:Tcs右乘点p(xc,yc,zc,1)得点p (xc*d*k + x0*zc, -yc*d*k + y0*zc, zc, zc),转换为3D坐标为(xc*(d/zc)*k + x0, -yc*(d/zc)*k + y0, 1)，正确。)
4.一般情形：

************************************

视距为1，x轴视角为90度，屏幕宽高为W,H.

************************************
代入d=1，theta_x = PI/2,x0= W/2,y0=H/2,则视平面宽高为width_p = 2。

要确保屏幕上的图像x,y比例不失真，即rs=rp,有

height_p = 2/rp=2/rs=2H/W,

k=kx=ky=width_s/width_p = W/2.
于是,矩阵为:
Tcs1 =
|W/2 0    0 0 |
|0    -W/2 0 0 |
|W/2 H/2 1 1 |
|0    0       0 0 |
或
|W/2 0                0 0 |
|0    -H/2*(W/H) 0 0 |
|W/2 H/2             1 1 |
|0    0                0 0 |
(可以看到，y轴的缩放因子中乘上了宽高比(aspect ratio))

这个矩阵较常用。

作者: C.R.CAN 时间: 2012-2-5 23:26
非常感谢，管理员设置了需要对新回复进行审核，您的帖子通过审核后将被显示出来，现在将转入主题

作者: 愤怒的小猪 时间: 2012-2-10 11:34

作者: 晃晃 时间: 2012-2-22 23:30
提醒猪猪，千万不能让你看见

作者: 愤怒的小猪 时间: 2012-2-23 07:49
二月二，龙抬头

作者: 晃晃 时间: 2012-2-24 23:25
不会吧，太恐怖了

作者: 愤怒的小猪 时间: 2012-2-25 08:49
谢谢支持，顶了

作者: 小双子 时间: 2012-2-25 09:11
路过······

作者: 小罗 时间: 2012-2-25 09:41
以此留念，支持

作者: 小猫 时间: 2012-2-25 10:09
小猫来也，挠挠就走

作者: 变形金刚 时间: 2012-2-25 10:41
感谢纳金网这个平台，学到了不少东西

作者: 新西兰牛仔 时间: 2012-2-25 11:04
顶了，好好幺

作者: 愤怒的小猪 时间: 2012-2-25 11:06
感谢大家对爱3D的支持，永远顶

作者: C.R.CAN 时间: 2012-3-15 23:29
你们都躲开，我来顶

作者: Tomoya 时间: 2012-3-16 18:54

作者: tc 时间: 2012-3-31 23:29
不错哦,谢谢楼主

作者: 奇 时间: 2012-4-3 13:13
不错不错，收藏了

作者: tc 时间: 2012-4-8 23:25
我看看就走，你们聊！

作者: 奇 时间: 2012-4-15 23:20
不错啊　经典

作者: 奇 时间: 2012-4-28 23:25
响应天帅号召，顶

作者: 晃晃 时间: 2012-6-24 23:27
再看一看，再顶楼主

作者: 奇 时间: 2012-7-18 23:26
加精、加亮滴铁子，尤其要多丁页丁页

作者: tc 时间: 2012-8-22 23:51
你们都躲开，我来顶

作者: C.R.CAN 时间: 2012-8-26 00:00
楼主收集的可真全哦

作者: C.R.CAN 时间: 2013-1-28 23:25
加精、加亮滴铁子，尤其要多丁页丁页

作者: tc 时间: 2013-3-8 23:21
加精、加亮滴铁子，尤其要多丁页丁页

作者: 奇 时间: 2013-3-17 23:20
发了那么多，我都不知道该用哪个给你回帖了，呵呵

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